Бог и математика. Лекцию читает Владислав Шапошников, кандидат философских наук, доцент философского факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.
"Неужели математика как-то связана с Богом?" - наверняка спросят некоторые, увидев тему предлагаемой беседы. Да, связана. Более того: убежденность в наличие совершенно особой связи именно математики с Божественной реальностью проходит красной нитью через всю историю европейской культуры, начиная, по крайней мере, со времен Платона.
Знаете ли Вы, что знаменитый "миф о пещере" был рассказан Платоном именно с целью уяснить природу математики? И что Платон противопоставлял "Богоугодный" и "Богопротивный" способы заниматься математикой? Что, восходящий к Платону, образ Бога-геометра вдохновлял не только позднеантичных и средневековых авторов, но и творцов научной революции нового времени? Что в высоком и позднем европейском средневековье пользовалось популярностью следующее метафорическое "определение" Бога: "Бог есть бесконечный шар центр которого повсюду, а окружность нигде"?
Что Евангелие предлагает "новую математику благодати" (по выражению Филипа Янси), а, точнее, содержит мощный "антиматематический" заряд? Что в знаменитой сказке Г.Х. Андерсена "Снежная королева" математические знания и занятия ассоциируются с дьявольским наваждением? Новалис же писал: "Кто прикасается к математической книге без благоговения и читает не как Слово Божие, тот её не поймёт"? Что один из известнейших математиков двадцатого века, Пал Эрдёш, говорил своим коллегам: "Вы не обязаны верить в Бога, но вам следует верить в Книгу", имея в виду Книгу, в которой содержатся все математические результаты в сопровождении самых совершенных доказательств? Что еще один крупный современный математик, Юрий Иванович Манин, называет себя "эмоциональным платоником"?
Также: Математика и божественная реальность: Бог-математик
Расшифровка:
Здравствуйте. Меня зовут Шапошников Вячеслав Алексеевич. Я – доцент философского факультета Московского государственного университета имени Михаила Васильевича Ломоносова. И наша сегодняшняя тема – математика и божественная реальность.
И начнем мы вроде бы с такого бокового момента. А именно мне хотелось бы обратить ваше внимание на очень хорошо вам известный текст. Это сказка Ганса Христиана Андерсена «Снежная королева». Я не уверен, что все из вас сразу поняли, почему я вспомнил об этой сказке в связи с темой «Математика и божественная реальность». Но если вы ее перечитаете, перечитаете ее в полноценном переводе, то есть в полном виде, не сокращенном, не адаптированном, то увидите, что я не совсем просто так о ней вспомнил. Эта сказка была издана впервые в 1844 году и начинается она с того, что некий тролль или дьявол, о чем прямым образом говорит нам Андерсен, мастерит некое зеркало. В котором можно отразить все. И вещи, и мысли, все, что есть в мире. Это кривое зеркало и оно все искажает. Все хорошее делает малым и ничтожным, все плохое наоборот выпячивает. И дальше – вы видите здесь иллюстрацию еще 19-го века – вы видите довольных учеников этого тролля, которые носятся по всему миру и пытаются отразить в этом зеркале все, что им удастся. Дальше, продолжает Андерсен, они решили подняться ввысь, чтобы, как он пишет, посмеяться над ангелами и самим творцом. Но чем выше они поднимались, тем сильнее извивалось и кривлялось зеркало у них в руках, в конце концов оно стало выгибаться настолько сильно, что они не могли удержать его в руках. Оно вырвалось у них из рук, упало на землю, разбилось вдребезги, разлетелось на мелкие-мелкие кусочки. Дальше, как вы помните, эти осколки рассеиваются по свету. И производят еще больше вреда, поскольку они попадают в глаза людям, в сердце, и тогда, поскольку каждый осколок сохранял свойства зеркала в целом, эти люди начинают видеть мир немножко по-другому. Самое интересное происходит дальше, и сейчас, надеюсь, станет понятно, почему я об этом заговорил. Дело в том, что два таких осколка попадают в глаз и в сердце одному из главных героев – мальчику Каю. А теперь, внимание, самое интересное – что после этого начинает происходить с ним, как меняется его восприятие мира? Оказывается, что он начинает видеть мир совершенно по-другому. Во-первых, у него совершенно меняется представление о красоте, о том, что красиво и что безобразно. Он, например, полностью утрачивает способность видеть красоту цветов и людей. Он сразу, глядя на них, видит их недостатки. Если помните, он опрокидывает горшки с розами, кричит: «Эту розу точит червь, это совсем кривая…» Он перестал видеть их красоту. Когда Герда начинает плакать, он говорит: «Ууу, какая ты сейчас безобразная». Герда тоже стала для него уродливой. Но зато ем уоткрывается другая красота. Красота арифметической геометрической правильности. Я вам процитирую соответствующее место. Кай, когда его уносят санки Снежной королевы уже, цитирую: «Кай весь дрожал, хотел прочесть «Отче наш», но в уме у него вертелась одна таблица умножения». Да и саму Снежную королеву он видит теперь по-другому. Цитирую: «Кай взглянул на нее, она была так хороша, более умного, прелестного лица он не мог себе представить. Теперь она не казалась ему ледяной (раньше она казалась ледяной, мертвой, безжизненной), как в тот раз, когда она сидела за окном и кивала ему головой, теперь она казалась ему совершенством. Он совсем не боялся ее и рассказал ей, что знает все четыре действия арифметики (обратите внимание, о чем он с ней разговаривает), да еще и с дробями, знает сколько в каждой стране жителей. Она только улыбалась в ответ. И тогда ему показалось, что он и в самом деле знает мало. И он устремил свой взор в бесконечное воздушное пространство».
Что здесь удивительно. Что Андерсен систематически связывает математические знания, представления с демоническим началом. Математика в этой сказке Андерсена подчеркнуто демонизирована. Действительно, если мы посмотрим, на еще одного персонажа, главное воплощение зла, это сама Снежная королева. Посмотрим, как она описывается. Вот как описывается трон Снежной королевы. «Посреди самой большой пустынной снежной залы. Посреди самой большой пустынной снежной залы находилось замерзшее озеро. Лед треснул на нем на тысячи кусков, таких одинаковых и правильных, что это казалось каким-то фокусом. Посреди озера сидела Снежная королева, когда бывала дома, говоря, что сидит на зеркале разума». Обратите внимание, опять появилось зеркало разума. Полагаю тролли тоже считали, что их зеркало – зеркало разума, поскольку оно позволяет все видеть в истинном свете. Итак, она сидит на зеркале разума. «По ее мнению, это было единственное и лучшее зеркало на свете».
А теперь вспомним, чем занимается Кай в чертогах Снежной королевы.
«Кай возился с плоскими остроконечными льдинами, укладывая их на всевозможные лады. Есть ведь такая игра-складывание фигур из деревянных дощечек, - которая называется китайской головоломкой (у нас она сейчас по-другому называется, но вы все догадались о чем идет речь). Вот и Кай тоже складывал разные затейливые фигуры, только из льдин (тоже идет геометрическая игра по сути), и это называлось ледяной игрой разума. В его глазах эти фигуры были чудом искусства, а складывание их - занятием первостепенной важности. Это происходило оттого, что в глазу у него сидел осколок волшебного зеркала. Складывал он и такие фигуры, из которых получались целые слова, но никак не мог сложить того, что ему особенно хотелось, - слово "вечность". Снежная королева сказала ему: "Если ты сложишь это слово, ты будешь сам себе господин, и я подарю тебе весь свет и пару новых коньков". Но он никак не мог его сложить.
Мы видим образ, мертвое ледяное царство Снежной королевы, это царство математической правильности. Здесь все точно, совершенно.
Итак, дальше давайте посмотрим в чем основная оппозиция сказки, как она устроена.
Вся сказка Андерсена построена на противопоставлениях. Дьявола-тролля и Бога-Творца, снежинок и роз, снежных чудовищ и ангелов, зимы и лета, ночи и дня, луны и солнца, зла и добра, разума и сердца, смерти и жизни , забвения и памяти, времени и вечности. Причем основной сюжет строится как борьба с одной стороны Снежной королевы, с другой стороны – Герды за Кая, который здесь очевидным образом являет человека вообще. Причем какие силы олицетворяет Снежная королева мы уже поняли, а какие силы олицетворяет Герда? Герда олицетворяет сторону Бога. На самом деле, если приглядеться внимательно, я не буду сейчас в это сильно уходить, за образом Герды скрывается Богоматерь. Особая связь Герды с розой, роза тоже совершенно не случайна, в данном случае символичный цветок Богоматери. Более того, мы можем заметить, какими средствами действует Герда. Главное оружие Герды – это молитва и слезы.
Если мы вспомним замерзшего и одиноко сидящего в чертогах Снежной королевы Кая, что происходит, когда туда приходит Герда. Неожиданно задача, над которой трудился Кай, решается. Каким образом? Процитирую вам это место. Речь идет о Герде. «Она смеялась и плакала от радости. Да, радость была такая, что даже льдины пустились в пляс, а когда устали, улеглись и составили то самое слово, которое задала Каю сложить Снежная королева». Действительно, здесь есть основная позиция. Тут можно долго все прослеживать, но мне важно, чтобы мы увидели одну вещь, математика в данном случае оказалась неким демоническим искусством. Это некий мертвый универсальный разум, а ему противостоит живая вера и любовь. Именно живая вера и любовь ассоциируется с Богом и христианством. А вовсе не математика.
Вроде бы это противоречит образу Бога математика, который успешно вошел в христианские века в христианскую культуру. В чем же здесь дело? Что происходит? Давайте приглядимся. Действительно, если мы обратимся к истории, мы можем заметить, что представление о математике, как о достаточно богопротивном знании. В общем-то вполне обнаруживается в христианскую эпоху. Давайте я вам покажу очень кратко один слайд. Я приведу вам пример. На протяжении многих веков, в частности в первые века после рождества христова, слово математика на территории Римской империи часто употреблялось как синоним астрологии. Причем астрологии в смысле искусства составления гороскопов. И в итоге математика оказывалась тождественна астрологии, астрология оказалась неким видом девиации, гадания с целью предсказания будущего, девиация оказывалась в компании с магией, магия воспринималась как зловредная магия, черная магия. Это очень хорошо видно, когда стали упорядочивать законы Римской империи. Первый знаменитое собрание этих законов – это кодекс Феодосия, это 438 год, 5 век, первая половина 5-го века. Если вы посмотрите этот кодекс и в частности откроете 16 титул 9 книги, то он озаглавлен совершенно очаровательно , внизу слайда вы можете увидеть называние, к сожалению по латыни, но здесь это важно. Если перевести это заглавие, оно будет звучать примерно так: о черных магах, математиках и им подобных. И дальше идут репрессивные меры, которые полагаются за всю эту деятельность. Но что замечательно: математиков здесь надо понимать как астрологов. А кто это понимает? Это вещь такая опасная, а другого-то слова нет. Никакой другой математики тоже нет. Поэтому восприятие всей математики заодно с астрологией, а греческое слово астрология означало то же самое, что астрономия, астрономию от астрологии тоже не умели отличать. Различия четкого не было. Поэтому на фоне всего этого объяснить, чем математика, которая нам бы нравилась, отличается от составления гороскопов, не так-то просто. Но надо сказать, что математики действительно часто занимались тем, что составляли гороскопы. Этим еще и Кеплер грешил, всяко бывало.
Но я хочу обратить внимание на более серьезную вещь. На самом деле, ведь негативное отношение к математике, это было не просто закреплено в законах, в первые века и христианской тоже империи, в 4 веке империя становится христианской, отношение к математике было отрицательным. Похоже, оно было отрицательным ко многим знаниям, к математическому в частности.
Почти в то же время, когда появился Кодекс Феодосия. Это уже в 4-5 веках, блаженный Августин, когда писал свои произведения, например, у него есть знаменитое произведение «Де доктрино христиано», о христианской науке. Он там пытается втолковать своим читателям, что знания из античной науки иметь полезно, элементарные знания об арифметике, геометрии нужны, чтобы хотя бы Священное писание понимать. Это же не просто так он пишет. Это означает, что фон был такой, что это все никому не надо, христианам это не нужно. Математику долой вместе с магией, вместе с языческой богопротивной премудростью. Августину приходилось работать над тем, чтобы донести, как образованному человеку, до своей паствы и до своих читателей, что это не так. По крайней мере, не совсем так. Откуда это растет?
Я в какой-то момент с удивлением обнаружил, что серьезная опора для этого есть ни много ни мало в самих Евангелиях. Я не одинок в этом наблюдении. Поэтому, прежде чем приводить пример, я приведу вам в переводе с английского очень красивую, на мой взгляд, цитату. Перед нами Филипп Янси, его сейчас активно переводят на русский язык, это журналист, христианский писатель американский, это книжка 97 года, вот, что он там пишет: «Я вырос с образом Бога-математика, который взвешивает мои хорошие и плохие поступки на весах, и хороших всегда оказывается недостаточно, чтобы перевесить плохие. Каким-то образом я проглядел Бога Евангелий , Бога милости и щедрости, которые все вновь и вновь находит способы вдребезги разбить непреклонные законы безблагодатного существования. Бог разрывает в клочья таблицы с математическими подсчетами и вводит в игру новую математику благодати». Термин новая математика благодати из названия главы в русском переводе книги исчез. Я сам переводил цитату, потому что мне было важно более точно ее передать.
Давайте посмотрим на известные вам евангельские места. В частности, на многие из них ссылается тот же Янси в связи с этой мыслью о новой математике благодати. О чем тут идет речь?
Две лепты бедной вдовы и большая сумма, которую кладет богатый жертвователь с помощью арифметики и не очень сходятся. Тем боле две лепты не может оказаться больше, чем эта сумма. Но на это вроде бы и рассчитано, на то она и притча и она говорит о том, что с точки зрения Бога, первая притча вполне объяснима математически, надо подсчитывать не абсолютную сумму вносимую, а относительно общего среднего дохода.
На таком уровне первая притча прочитывается. Вдова дала больше, потому что она отдала почти все, что у нее было. Богатей мог дать много, но это малая часть, хорошо если десятина от того, что он имел.
Помазание Иисуса миром. Расточительно, можно было бы продать это миро за большие деньги и раздать нищим. Но в данном случае есть пояснение, что не всегда так надо делать, а особая ситуация. Те, кто знает, поняли о чем идет речь, те, кто не знает, я не могу терять время, пожалуйста, перечитайте это место.
Притча о заблудшей овце. Здесь уже немножко хуже. Потому что действительно говорится о том, что наш Добрый Пастырь оставляет 99 овец, хороших овец, праведников, для того чтобы пойти искать одну паршивую овцу, которая куда-то убрела, непонятно куда, представляет грешника. И больше радуется о ней, найдя ее и вернув, чем о 99 праведных. Уже становится странно. Чем 99 праведников так не хороши, почему 99 праведников не лучше, чем 1 грешник. Пусть, да, на данный момент, раскаявшийся. Если мы посмотрим житейски, то пастырь, котрый бросил в пустыне без присмотра 99 овец и пошел искать одну, много ли из них он найдет в целости и сохранности, вернувшись, неизвестно. И вообще, что там будет происходить. Тоже прочитывается, но уже как-то сложнее.
Притча о царе и должнике, там ведь о чем идет речь. Там сначала начинается все с вопроса Петра: до скольких раз прощать брату. На что Иисус Христос ему отвечает: «Не говорю тебе до 7, но до 70 раз по семь». Фактически это настолько много, что можно считать, что не ограничено. А дальше следует притча о том долге, который человек имеет у главного героя, и о том гигантском долге, который имеет герой по отношению к царю. Царь прощает ему огромный долг, соответственно он должен простить маленький, здесь, скорее речь идет о том, насколько долг перед Богом настолько велик, что на фоне этого долга до 7 раз или до 70 по семь уже без разницы. Тоже может как-то пройти, но с трудом.
Притча о работниках в винограднике. Тут оказывается, что по отношению к такой ценности как Царство Божие, видимо, действительно расчет не проходит. Дальше рассказывается притча об очень странном способе оплаты, явно нарушающую обычную житейскую справедливость. Но разъяснение опять следует о том, что каждый из этих работников получает, символизирует Царствие Божие. И поэтому это не совсем то же самое, что конкретная плата. Которая, может быть, соразмерима с вложенным трудом. Поэтому Царствие Божие – это некая бесконечность по сравнению с любым конечным планом трудовым, который мог принести работник, поэтому на фоне бесконечного дара, который они получают, весь их вклад не очень сильно различается. Ну хорошо, тоже проходит.
Притча о мытаре и фарисее. Здесь уже более ярко мы видим… Мытарь говорит: «Боже, милостив буди мне грешному…» А что говорит фарисей? Фарисей скрупулёзно перечисляет Богу с точными числами свои достижения. И действительно с точки зрения фарисейского понимания праведности, он действительно праведен, он не кривит душой. Но притча все равно странная. Потому что фарисей действительно праведен. И на самом деле, на фоне того, много, что он делает, мы могли бы посмотреть сквозь пальцы, что он несколько свысока поглядывает на мытаря. Если мы вспомним, кто были мытари, и вообще непонятно, насколько этот мытарь всерьез раскаивается, насколько он действительно отказался от своей деятельности или вообще это минутное сожаление. Мы ничего этого не знаем. И вообще создается впечатление, что любая попытка производить расчеты относительно добродетельности, она здесь осуждается.
Но дальше еще интересная притча – притча о безумном богаче. Здесь вообще очень интересно. Богач в данном случае меряет вовсе не добродетель. Он производит расчет вполне мирской. Он прикидывает снести ли ему старые житницы, поставить новые. Он действительно строит некоторые расчеты, как он будет тратить это зерно в следующие годы. На что говорится, что он безумен. Потому что в следующую ночь он умрет, он не знает. Но это, согласитесь, потрясающе. С точки зрения такого аргумента любые мирские расчеты каждый из нас должен закончить здесь и сейчас. Потому что никто из нас не знает, переживет ли он будущую ночь. Фактически, вообще на мирских расчетах ставится большой крест. Давайте посмотрим еще на несколько мест.
Теперь посмотрим на упорно повторяющееся из одного Евангелия в другое, во всех Евангелиях места.
По крайней мере о насыщении пяти тысяч есть везде. И хождение по водам. По-моему, в Евангелии от Иоанна нет какого-то из этих мест.
Христос здесь показательно нарушает даже не просто мирские расчеты, а если хотите законы природы. Более того, обратите внимание, причем здесь математика, законы природы имеют математические свойства. То, что мы не можем ходить по воде – это результат определенных математических соотношений. Между нашим весом, поверхностным натяжением и так далее. Почему нельзя накормить 5000 человек 5 хлебами? Это тоже некие математические расчеты. Более того, Иисус Христос не просто сам нарушает эти законы, Он особый, Он не вписывается, - Он своим ученикам говорит, что вы тоже должны делать так. Если вы будете иметь веру, вы будете двигать горами. Передвижение горы – это тоже демонстративное нарушение математического расчета. Если хотите. Опять же речь идет не только об отношениях между Богом и человеком, а следовательно – отношения с другим человеком не могут строиться на расчете, но в каком –то смысле вся жизнь должна быть построена так, чтобы любые расчеты потеряли над нами власть. В том числе расчеты, связанные с математическими законами природы. Возможно, Евангелие можно прочитывать и по-другому. Но так эти места тоже можно прочесть.
Крещеный человек не подвластен не только влиянию звезд, все эти астрологи с их гороскопами – ложь, от лукавого, но вообще каким либо расчетам он больше не подвластен. Математика – от падшего мира, действительно вотчина дьявола. Иисус Христос нас освободил от этого. И, возможно, когда Августин писал в том числе и о математике, о христианской науке, он обращался и к слушателям, которые таким образом могли рассуждать.
В каком-то смысле это тянет на больше, чем новая математика благодати, это очень мощный антиматематический заряд, который выстреливает против любой попытки что либо рассчитывать.
Как выйти из этой ситуации? Мы все с вами прекрасно понимаем, что с одной стороны, эта оппозиция Христа фарисеям, где фарисеи олицетворяют точный расчет всего до мельчайших подробностей, а Христос в пику им подчеркивает силу действия благодати, веры, которая освобождает нас из-под власти всех этих расчетов и отношений между Богом и человеком и между собой в свете Божией любви, которые не подчиняются никаким расчетам, но тем не менее мы понимаем, что в расчетах которые производят тоже есть своя правда.
Где же выход из этой ситуации? Давайте попробуем вернуться назад к моему любимому Платону. У Платона есть некие пояснения на этот счет, касающиеся математики. Но на этот раз мне понадобится другой его диалог – «Государство». Меня будет интересовать миф о пещере.
Миф о пещере серьезно связан с математикой. Это, кстати, тоже не все знают. Очень многие люди, которые знают, о чем говорится в мифе о пещере, тем не менее не читали сами Платона. Знают основную идею. В мифе о пещере говорится о том, что мы с вами – люди, подобны узникам, которые сидят где-то в глубокой пещере, подземной тюрьме, скованные по рукам и ногам и даже на головах у нас какие-то головодержатели, можем смотреть только на заднюю глухую стенку пещеры. Все, что мы видим, это некоторые тени, которые есть. При этом есть реальный мир вне пещеры. И задача философа показать людям, что они могут, по крайней мере в некоторой перспективе, освободиться от этих цепей. И выбраться на освещенный ярким солнцем реальный мир, полноценный, живой, многокрасочный, вне пещеры, покинув свое подземное узилище. Все это красиво. Но интересно, если вы посмотрите на самого Платона, вы увидите, что перед этим он говорил о математике и после этого он сразу начинает говорить о математике, было бы странно, если в самом мифе о пещере ничего про математику не говорилось. Миф о пещере, конечно, имеет к математике самое прямое отношение. Сейчас я вам покажу еще одну картинку. Картинка не столько красива, она учебная, но она хороша тем, что она занудным образом воспроизводит подробно структуру мифа о пещере, который действительно представлен у Платона. Вы можете увидеть, что здесь куча уровней. Это не просто тени на стене пещеры, которые видят узники и предметы настоящие вне пещеры, от которых эти тени падают. Ничего подобного, оказывается, тут много всего. Тут много всего нагорожено. И тени падают от некого огня, который горит внутри пещеры, а снаружи есть настоящее солнце и много еще чего. Но я сейчас хотел бы обратить внимание не на все эти детали, а на одну очень простую вещь
В какой момент в миф о пещере входит разговор о занятиях математикой. В тот момент когда начинает обсуждаться следующая проблема. Представьте себе узника, который всю жизнь просидел в темном углу пещеры. Что с ним произойдет, если вы его вытащите на яркий солнечный свет? Он ничего там не увидит, его глаза пронижет страшная боль, он ничего не сможет видеть, он придет в полный ужас и захочет убежать обратно в свою пещеру, где было так хорошо и привычно. Для того чтобы этот узник смог увидеть вне пещеры, нужно каким-то образом подготовить его глаза. Нужно некоторое промежуточное состояние или занятие, которое подготовит ему глаза и поможет ему более плавно перейти от почти полной темноты пещеры к яркому свету солнца. И как раз об этом и говорит Платон в соответствующем месте. Вот это место, я привожу цитату с небольшими купюрами. Это просто цитата из мифа о пещере.
Говорится об узнике, который мог бы выйти на яркий свет вне пещеры.
«А когда бы он вышел на свет, глаза его настолько были бы поражены сиянием, что он не могу разглядеть ни одного предмета из тех, о подлинности которого ему теперь говорят. <…>
Тут нужна привычка, раз ему предстоит увидеть все то, что там, наверху. Начинать надо с самого легкого: сперва смотреть на тени, затем – на отражения в воде людей и различных предметов, а уж потом – на самые вещи; при этом то, что на небе, и самое небо ему легче было бы видеть не днем, а ночью, то есть смотреть на звездный свет и Луну, а не на Солнце и его свет. <…>
И наконец, думаю я, этот человек был бы в состоянии смотреть на самое Солнце, находящееся в его собственной области, и усматривать его свойства, не ограничиваясь наблюдением его обманчивого отражения в воде или других ему чуждых средах.»
Обратим внимание, что предлагается в качестве подготовки глаз. Здесь есть две метафоры. Одна метафора – это вылезти из пещеры не днем, а ночью. И прежде, чем взойдет солнышко, посмотрев на мир вне пещеры при ночном освещении приучить постепенно свои глаза. Вторая метафора, которая присутствует здесь же, это метафора смотреть не на сами предметы, а на их отражения, отражение находится вне пещеры, обратите внимание. На нашей предыдущей картинке был замечательный кипарис, и, видите, тут озерцо, в котором он отражается. Предлагается посмотреть сначала на кипарис, отраженный в озерце, потом уже на сам кипарис, а потом уже на солнце, которое это все освещает. Чтобы постепенно приучить глаза.
У нас здесь все время будет возникать образ зеркала, обратите внимание. Помните, мы начали с образа зеркала, которое держали в руках ученики тролля, это было кривое зеркало, которое, тем не менее, было ассоциировано с математикой. Обратите внимание, здесь у Платона математика тоже оказывается ассоциирована с зеркалом. Сейчас мы это поймем. Это отражение в чем – в некой зеркальной поверхности. Неважно, что это такое. Это может быть водоем, может быть что-то еще. Важно, что это не сам предмет, а его отражение, не сам предмет, а его тень. И идет противопоставление между рассматриванием самих предметов и рассматриванием их отражений. И это очень важно.
На самом деле, занятие математикой и есть расшифровка этих метафор. Действительно занятие математикой – это для Платона и есть та самая подготовка глаз нашего ума. Именно поэтому сразу, закончив рассказывать миф о пещере своим собеседникам, он с ними переходит к обсуждению того, как заниматься математикой. Начинается разбор. Как заниматься арифметикой, геометрией, потом – астрономией, потом гармоникой (или музыкой), всем тем, что входило в круг математических дисциплин.
В чем тут дело? Платон пытается нас убедить, что именно занятия математикой есть идеальная промежуточная деятельность. Между чем и чем? У нас есть то, что дают нам чувства. Сидя в пещере, мы пользуемся только нашими чувствами. Вне пещеры мы должны пользоваться нашим умом, созерцать сами идеи, их источник. Если мы хотим подготовиться, нам нужно что-то такое, что занимает промежуточное положение. И это как раз и есть математика.
С одной стороны, математик занимается объектами, которые он представляет, геометр изображает свои фигуры. Или представляет их в воображении. Они не являются чем-то таким, что невозможно себе вообразить. Попробуйте себе вообразить или нарисовать человека вообще. Вам это не удастся. А треугольник нарисовать можно. Он не будет вроде бы треугольником вообще, тоже здесь все не просто, но, тем не менее, геометр умудряется рисовать треугольник так, что он может, глядя на него, рассуждать о треугольнике вообще. Поэтому здесь это как раз с другой стороны Платон все время нам показывает, что тот предмет, о котором размышляет геометр, да и любой другой человек, занимающийся математическими дисциплинами, на самом деле не есть чувственно воспринимаемый предмет. Именно поэтому здесь достигается переходное состояние, переходная ступенька – от чистого восприятия к чистому умозрению. Вот, собственно, идея, которую высказывает Платон.
Но из нее вытекает еще одна вещь. Математика оказывается занимающей промежуточное положение. Между сферой полного бытия, сфера, которой занята метафизика или теология, поскольку для Платона они не различаются, а ниже лежит то, что касается изучения чувственно воспринимаемого. Математика занимает промежуточное положение.
И мы можем смотреть на математику с двух перспектив, как чего-то, что ведет нас снизу вверх, либо наоборот – как то, что позволяет нам перейти от умопостигаемого к чувственному. И поэтому, говоря про каждую из математических дисциплин, Платон не устает подчеркивать, что каждой из них можно заниматься двумя противоположными способами – правильно и неправильно. «Ради познания» - это когда мы движемся снизу вверху или, как он пишет, по-торгашески в том же «Государстве». Когда мы движемся сверху вниз. Грубовато, но речь идет о том, когда мы принимаем некий доступ к умопостигаемому для того чтобы понадежнее устроиться в этом мире. На самом деле, вопрос о том, насколько это единственное однозначное прочтение Платона – вопрос сложный, я не буду сейчас в него уходить. На мой взгляд, здесь важно учитывать контекст, контекст там такой – речь идет о воспитании правителя для идеального государства, поэтому речь о том, как их воспитывать. Если бы речь шла о воспитании представителей других сословий, стражей или воинов, или тем более – третье сословие, возможно, Платон бы говорил другие вещи и про математику. Но здесь это выглядит именно таким образом. Итак.
Оказывается, что математика двойственна. Уже у Платона мы видим, что заниматься математикой можно двойственно.
В первой части я вам показывал слайд с классификацией наук Аристотеля. У Аристотеля воспроизводится та же схема, математика занимает промежуточное положение между философией (то есть метафизикой, теологией, с одной стороны, и физикой, с другой стороны). И если хотите, у математики есть два лица, как у известного римского двуликого Янус, который одним лицом смотрит в одну сторону, другим – в другую. Одним лицом она обращена к теологии, а другим лицом она обращена к физике. Математика двойственна. И способ заниматься ею может быть тоже разный. И оказывается, что здесь нужно разбираться. Оба присутствуют и о какой математике, о чем идет речь нужно смотреть. И опять же, при этом, когда речь идет о теме Бога математике, чаще всего речь идет о восходящем движении. Мы переходим от этого мира и обнаруживаем некий порядок в нем к Творцу, к тому, кто это таким образом устроил. Если же речь идет о движении сверху вниз, то это, может быть, как раз та математика, которая может осуждаться как слишком большая забота об этом, об устройстве в этом мире, которая заставляет человека забыть о мире горнем.
Давайте посмотрим на вот это восходящее движение, как оно дальше живет, что с ним происходит. Перед нами цитата из застольных бесед Плутарха. Смотрите, что пишет Плутарх: математические науки подобны гладким отполированным зеркалам отражают следы и образу умопостигаемой истины. Перед нами опять зеркало. Очень интересно, особенно в греческом это видно, что автор подчеркивает, что перед нами не кривое зеркало, перед нами гладкое, хорошо отполированное зеркало, которое достаточно хорошо воспроизводит свой предмет. Поэтому математические науки, конечно, зеркала, но это хорошие зеркала, которые достаточно хорошо и очень важно и ценно для нас воспроизводят ту самую божественную реальность, которая лежит выше их. Здесь нет осуждения кривого зеркала. Даже у Платона, мы заметили, в чуждых средах, он тут тоже хочет сделать акцент, что это лишь паллиатив. Здесь не спорят, что это паллиатив, но очень важный паллиатив, который позволяет осуществлять переход.
Это цитата из неоплатоника Прокла. Пятый век. Прокл приводит совершенно очаровательную поговорку, которую он приписывает пифагорейцам. Здесь Игорь Чичалин (45:27) переводит ее немножко так поэтично: чертеж и шаг, а не чертеж и грош. На самом деле, там не грош, а триаполло (? – 45:34) там стоит. Но речь идет именно об этом. О том, что нужно выбирать правильный способ заниматься математикой. Он противопоставляется здесь неправильному. И Прокл комментирует, что следует заниматься той геометрией, которая с каждой теоремой делает шаг на пути к горнему и подымает душу ввысь, и не позволяет ей опускаться в область чувственно воспринимаемого и применять геометрию к обычным человеческим нуждам, в погоне за которыми забывают о бегстве отсюда.
Язык платонический, даже неоплатонический. Тема бегства отсюда – это такая очень платоническая тема. Тем не менее, эта тема на самом деле оказывается очень важной. И то, что удалось закрепить средним платоникам, как Плутарх, и в особенности неоплатоникам, последняя великая школа античной философии, на самом деле, оказалась очень важной для христианской традиции. Посмотрим еще раз.
Смотрите, это цитата из того же Прокла. Но чуть-чуть другая. Он пишет: «Платон многие удивительные учения о богах излагает посредством математических форм, и философия пифагорейцев пользуясь этими завесами, скрывает тайны божественных учений.
Почему завеса? О чем вообще идет речь?
Слово завеса, нам может показаться, что завеса – это нечто такое, что исключительно скрывает. Но на самом деле речь идет о неком разделителе, который стоит между сферой профанной и сферой сакральной. В современном православном храме это что такое? Это иконостас. Иконостас не просто загораживает, он одновременно состоит из икон. А иконы что делают? Они являют некоторым доступным для нас способом горнюю реальность. Помогая нам осуществить этот самый переход. Математика выполняет ту же функцию. Она выступает в роли завесы, отделяющей святая святых в храме. Или иконостаса. Или, если хотите, скульптурных изображений. Пару примеров. Дело в том, что оказывается, что, возможно, и в христианской традиции была взята на вооружение вот этот восходящий взгляд на математику. О котором говорит Платон. Если позволите, я обозначу ее как софийную математику. Что это такое? Вспомним, Софию Премудрость Божию. И цитату, которую мы видели. Софийная математика. Действительно мы можем увидеть, что в богословских рассуждениях и богословском контексте начинают использовать арифметические и геометрические символы и метафоры. Я приведу быстро несколько примеров.
Например, Григорий Нисский. У него есть красивое место в трактате против Евномия, где сравнивает вечность Божественной жизни с геометрическим кругом, который не имеет ни начальной, ни конечной точки. Есть одно из самых любимых и знаменитых мест, которое здесь любят вспоминать. Это многим из вас, я думаю, известные, они входят в «Добротолюбие» душеполезные поучения аввы Дорофея. В шестом поучении есть замечательное сравнение. Где авва Дорофей говорит о связи двух заповедей евангельских – любви к Богу и любви к ближнему. Может показаться, что нам нужно выбирать. Если мы любим Бога, то мы недолюбливаем ближнего. Нам не хватает любви на него. Если мы любим ближнего, нам не хватит любви на Бога. Но это не так говорит авва Дорофей. Представьте себе, что Бог – это центр круга, а каждый из нас находится в какой-то точке на окружности. Двигаться мы можем по радиусу, но из-за того, ближе мы к Богу или дальше, мы продвигаемся к Нему по радиусу, расстояние становится меньше или больше. Но если мы начнем одновременно придвигаться к центру Вселенной, то мы станем и ближе к друг другу. Более того, приблизиться, приближаясь к друг другу, можно только приближаясь к центру. Авва Дорофей пытается с помощью этого геометрического образа передать идею, что на самом деле, чем больше мы любим Бога, тем больше мы любим ближнего. И если мы действительно любим ближнего, мы тем самым любим Бога. Эти заповеди поддерживают друг друга.
Это сама цитата из аввы Дорофея, я ее пропускаю. Теперь что еще любопытно. Это латинское уже средневековье, 12 век, компилятивный текст, книга 24 философов, она замечательна тем, что она закрепляет очень популярное в Средневековье, это называлось определениями Бога, но по сути дела перед нами такие рабочие метафоры. «Бог есть бесконечный шар, центр которого повсюду, а окружность нигде». Здесь соединяется, с одной стороны, образ шара как образ совершенства еще со времен древних греков. И образ бесконечности, Бога как бесконечности, бесконечный шар. Как представить себе бесконечный шар, нам предлагается это себе представить. Здесь есть отдельная, очень интересная тема, связанная с попытками представлять троичность с помощью геометрических фигур. Я сейчас обращу внимание не столько на треугольники, сколько на окружности. Если мы представим каждое лицо из Лиц Троицы окружностями, соответственно перед нами будет три окружности или три круга. Дальше нам некоторым образом нужно показать их единство. Есть несколько способов чисто топологических, которое достигается через определенное сплетение, переплетение этих окружностей.
Это версия Иоакима Флорского 13 век, окружность, соответствующая Богу Отцу зеленая, Богу Сыну – синяя и Святому Духу – красная.
Это знаменитые кольца Борромео. Это тоже, еще одна из версий представления Троицы. Здесь плохо видно, в центре по латыни написано unitas – единство, а три других надписи – это tri ni tas, то есть соответственно, это троичность. Единство и троичность. И действительно мы опять видим переплетенные круги, которые невозможно расцепить. Они образуют единство. И в то же время они все одинакового размера.
Этот образ завершает, может, многие из вас помнят Божественную комедию Дантэ, уже 14 век. Помните, эти самые три, перевод Лозинского, «три равноемких круга разных цветом». На самом деле, равноемких может запутать, они равновелики, они одинакового размера. И разных цветом. Из дальнейшего видно, что третий круг, который явно представляет собой Святого Духа рождается, как положено, в католицизме и от Отца и от Сына, он окрашен красны, цвета о которых говорит Дантэ, это те цвета, которые мы видели у Иоахима Флорского. Первые два круга, которые сравниваются с двумя радугами, отражающими друг друга. Это зеленый круг, представляющий Бога Отца и синий круг, представляющий Бога Сына.
Очень интересно, что это почти самый конец «Рая» и вообще «Божественной комедии», после этого буквально немножко строчек. И в них эта тема развивается. Вглядываясь дальше, представ перед самим Творцом, Дантэ обнаруживает, что Он выглядит не только как эти три круга, Он одновременно выглядит, как человек. Дальше он силится понять, каким образом Он может быть и кругом, и человеком. Дальше прочитайте или перечитайте сами эти последние строчки. Вы увидите, что Дантэ говорит в итоге, на мой взгляд, это так и остается человеческому пониманию. Перед нами опять же образ Бога геометрический и образ Бога с человеческим лицом. И то, и другое есть. И просто ответить на вопрос, как одно с другим сочетается, образует единство, не так легко удается.
Николай Кузанский. Совсем быстро. Не могу не упомянуть это имя. 15 век. Его самый знаменитый трактат «Об ученом незнании». Он замечателен тем, что Николай Кузанский не просто систематически для богословских целей использует математику, одна из его глав так и называется «О том, что математика лучше всего помогает нам в понимании разнообразных божественных истин». Он, во-первых, объясняет почему именно математика, посмотрите. А во-вторых, он объясняет, как правильно применять математику в богословии, он предлагает динамический, необычный для геометрии, способ работы с фигурами, который позволяет их доводить до бесконечности. И в итоге у него получаются всякие удивительные вещи. Это уже не геометрические рассуждения, это совершенно другой способ работы с геометрическими фигурами. Если хотите, софийная математика в версии Николая Кузанского. Он пытается с помощью этих способов показать, что бесконечная линия будет совпадать с бесконечной прямой, с бесконечным кругом, бесконечным треугольником, бесконечным шаром. И так далее. Они все совпадут. Знаменитая его идея о том, что в Боге совпадают противоположности. Здесь на картинке видно, почему бесконечные линии совпадают с бесконечным кругом. Вроде бы это совершенно разные вещи. Круг кривой, а линия совершенно прямая. Тем не менее, если мы начнем мысленно сохраняя точку касания увеличивать радиус нашего круга, он будет постепенно разворачиваться и в пределе совпадет с линией.
Примерно таким образом работает Николай Кузанский. Он многими разными способами работает. Просто обращаю внимание. 15 век. Это очень развернутый способ применения.
Дальше переходим к современной ситуации. Это очень интересная фигура, это Новалис. Один из важнейших немецких романтиков. У него есть так называемые математические фрагменты, которые он написал перед самой смертью, он умер совсем молодым, ему в районе тридцати было. Видите год? (1799/1800) Это самый рубеж 18-19 века. Новалис пишет экстатический, поэтический, эмоциональный текст, я не могу сейчас приводить его целиком. Мы видим противопоставление математики западного типа, которая исключительно специальный эмпирический инструмент для других наук и математики восточного типа, как он говорит об этом, созерцательной, когда уже никакой деятельности не нужно, не нужно суетиться, мы погружаемся в некое божественное созерцание, достигаем этого некого креитизма, как он пишет. В том числе он пишет: «Чистая математика – это религия». Именно там он говорит фразу, которая была в анонсе: «Кто прикасается к математической книге без благоговения и читает не как Слово Божие, тот ее не поймет». Что это значит? Что здесь происходит? Это что-то то, что было раньше или что-то новое? Действительно, текст можно прочесть в том числе, мы действительно можем увидеть в математике некую самостоятельную религию. Действительно, может нам уже не нужно Священное Писание, мы берем трактат по математическому анализу… (А Новалис действительно штудировал современную ему математику в то время…) … и для нас это и есть подлинный сакральный текст, который раскрывает нам Божественную реальность, даже, может, более точно. Но самое интересное, если вы вспомните, что я говорил в первой части по поводу ситуации, когда математика вольно или невольно оказывается в роли новой секулярной теологии, поскольку она оказывается вытесненной наверх собственно иерархией научных дисциплин в основу самую, как рисовать, мы можем обнаружить, что действительно мы можем это наблюдать. В современной секуляризованной ситуации мы действительно можем наблюдать восприятие математики как религии. Я вам приведу только один пример.
Это один из знаменитейших математиков XX века, венгерский математик Пал Эрдош. Пал Эрдош был действительно удивительным человеком. У него ничего не было, у него не было ни дома, ни семьи, ни имущества никакого, он перемещался по миру, переезжая от одного математика к другому. Приезжая к нему и предлагая порешать какие-нибудь очередные задачи, с которыми тот не мог справиться. Математика было для него некое служение. У нас нет оснований полагать, что он верил в Бога. Более того, он был достаточно ироничным человеком. И если говорил о Творце, то называл его великим фашистом. Есть масса знаменитых высказываний фольклорных Эрдоша, он вообще фигура почти фольклорная. Но интересно, смотрите, вот он читает лекцию по математике, сам он обычно говорил не «читать лекцию», а проповедую. А вот это его знаменитые слова: «Вы не обязаны верить в Бога, но вам следует верить в Книгу». Книга с большой буквы у Эрдоша, это некая книга, в которую записана вся математика. Причем не только все истинные теоремы, но они снабжены совершенными абсолютными доказательствами, лучше которых невозможно встретить. Если он видел доказательство, которое с его точки зрения казалось ему математически безупречным, это доказательство из Книги, говорил он. А теперь одна цитата, она из доклада 2005 года современного американского математика Джерри Спенсера. Это текст, посвященный памяти Эрдоша. Обратите внимание, он совершенно поразителен. Он говорит об Эрдоше систематическим образом используя религиозную терминологию. Он после смерти Эрдоша уже писал это.
«Что привело столь многих из нас в его круг? Чем объясняется радость, с которой мы говорим об этом благородном человеке? Почему нам нравится рассказывать истории о нем? Я много думал об этом и полагаю, что дело здесь в убежденности или вере (belief, or faith). Мы знаем красоты математики и убеждены в трансцендентном характере её. {…} Математическая истина неизменна, она располагается за пределами физической реальности. (…) Это наше убеждение, это средоточение мотивирующей нас силы. И, тем не менее, любые наши попытки описать эту убежденность, обращенные к нашим друзьям-нематематикам, весьма напоминает попытку описаться Всевышнего, обращенного к атеисту (человеку, который обладает религиозным опытом к человеку, который не обладает. Так же человек, который понимает, что такое математика, обладает неким «религиозным» опытом, который невозможно объяснить тому человеку, который не знает, что это такое изнутри). Пол воплощал эту веру в математическую истину. Его огромный талант и энергия были отданы Храму Математики. Он не допускал и тени сомнения в значительности, абсолютности предмета своих изысканий. Видеть его веру значило обретать веру. В религиозном мире есть слово для таких людей, их называют святые».
И наконец, последний слайд. Это говорит значительно более скептично настроенный тоже американский математик Филип Дэвис. Эти слова были сказаны в одном из его докладов конца 90-х годов XX века. Вот, что он говорит.
«Я убежден, что в моем поколении вера в некую платоническую математику была и остается заменителе религии для тех, кто оставил или даже отверг традиционные религии. Где достоверность может быть обретена в хаотичной вселенной, которая столь часто кажется бессмысленной. Математика часто полагалась и полагается единственным источником абсолютной достоверности».
Эрдош нам демонстрирует пример математики, которая воспринимается как религия, заменяет религию. А глядя со стороны Филип Дэвис говорит нам о том, что этот феномен достаточно распространен в XX веке.
Ну и наконец мое заключение. Какой же вывод? Что же такое математика? Математика – двуликий Янус, математика может для нас оказаться разным. Все-таки она гладкое зеркало, являющее нам истинный лик Творца или это кривое зеркало, средство посмеяться над ангелами и самим Творцом, как писал Андерсен? На самом деле, я думаю, что она может быть и тем, и другим. И чем она кажется для нас, зависит только от нас.
Позвольте мне на этом закончить.
Проект осуществляется с использованием гранта Президента Российской Федерации на развитие гражданского общества, предоставленного Фондом президентских грантов.
